Les Temps De Passage Dans Les Processus De Type Pont De Diffusion Processus Stochastiques Appliqués à La Finance

Le  mouvement brownien est l'un des processus stochastiques les plus utilisés en mathématiques financières, il s'agit d'un processus stochastique possédant des propriétés théoriques très importantes. En effet, le mouvement brownien est  à la fois une martingale, un processus de diffusion  à  trajectoire continue, donc markovien, et un processus gaussien. Il présente donc l'avantage d'être suffisamment concret et connu pour effectuer des calculs stochastiques explicites ce qui n'est pas le cas pour d'autres processus stochastiques. Dans le cadre de notre ouvrage, nous nous sommes intéressés à l'étude des temps de premier passage, celle-ci consiste en la détermination de la distribution de probabilité  associée à cette variable aléatoire dans les processus de diffusion. Cette étude consiste à  déterminer, en premier lieu, les lois de probabilités théoriques de ces premiers temps de passage et, par la suite, utiliser des outils de simulation sous le langage R. Dans une première  étape, nous avons étudié ces instants de premiers passages pour les processus mouvement et pont brownien. Suite à cela, nous avons abordé la problématique de la simulation d'une solution d'équation différentielle stochastique de type pont par le biais d'une méthode donnant de bons résultats, la méthode "crossing". Nous avons projeté le problème de détermination de la loi des premiers temps de passage au modèle de Black-Cox où la solution de son équation différentielle stochastique est un mouvement brownien géométrique. Les résultats théoriques que nous avons présenté affirment que sous certaines conditions sur les paramètres de ce modèle, la distribution des premiers temps de passage,  à un seuil fixé au préalable, est inverse-gaussien, ce qui n'est pas le cas dans le modèle de Black-Cox de type pont. Une étude, par simulation, utilisant des méthodes numériques sous langage R nous a permis d'obtenir quelques pistes quant à la distribution des temps de passage.